智慧閃耀：群裡的學霸時刻
在總統府那寬敞明亮的書房裡，午後的陽光透過雕花的玻璃窗，灑在木質地板上，形成一片片斑駁的光影。林雲坐在書桌前，結束了一上午忙碌的工作，他伸了個懶腰，決定在短暫的休息時間裡，看看自己的粉絲群。
林雲的手指在手機螢幕上輕輕滑動，點開了那個熱鬧非凡的粉絲群。群裡訊息如潮水般不斷滾動，大家熱烈地討論著各種話題，從林雲在國際外交舞臺上的精彩表現，到他在法庭上做出的公正裁決，粉絲們對他的崇拜和喜愛溢於言表。而林雲在群裡的網名“雲寶”，也被大家熟知，儘管身份特殊，但他很享受在這個虛擬世界裡，與粉絲們輕鬆交流的時光。
就在林雲饒有興致地看著群裡的聊天記錄時，一條訊息吸引了他的注意。一位名叫蘇然的大學生髮了一道數學題，並配上文字：“家人們，這道題我想了好久都沒思路，咱們群裡有學霸能幫忙解一下嗎？這可是我們高等數學課程裡超級難的一道題。”
林雲定睛一看，題目是這樣的：
已知函式f(x)在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=0。證明：存在\\xi\\in(a,b)，使得f(\\xi) + \\xi f'(\\xi)=0。
這道題對於很多人來說確實頗具難度，一時間，群裡安靜了下來，之前熱鬧的討論氛圍被這道難題帶來的沉默所取代。就連群主也發了個無奈的表情，表示自己也被難住了。
林雲看著題目，嘴角微微上揚，露出自信的笑容。他雖然主要精力放在外交和法律領域，但學生時代紮實的數理基礎此刻派上了用場。他起身走到書桌旁，拿起一支筆和一張白紙，準備開始解題。
首先，林雲在紙上寫下分析思路：“這道題考查的是中值定理的應用，關鍵在於構造一個合適的輔助函式。”他一邊思考，一邊在紙上寫下輔助函式的構造過程。
設F(x)=x f(x)，林雲開始在紙上詳細地推導這個輔助函式的性質。
因為f(x)在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導，而x在實數域內是連續且可導的，根據兩個連續且可導函式的乘積仍然連續且可導，所以F(x)在區間[a,b]上連續，在(a,b)內可導。
接著，計算F(a)和F(b)的值。
F(a)=a\\times f(a)=a\\times0 = 0，F(b)=b\\times f(b)=b\\times0 = 0，所以F(a)=F(b)。
此時，林雲想起了羅爾中值定理：如果函式y = F(x)滿足在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且在區間端點處的函式值相等，即F(a)=F(b)，那麼在(a,b)內至少存在一點\\xi，使得F'(\\xi)=0。
因為F(x)=x f(x)，根據乘積求導法則(uv)^\\prime = u^\\prime v + uv^\\prime，對F(x)求導可得：
F^\\prime(x)=(x f(x))^\\prime = f(x) + x f^\\prime(x)。
由羅爾中值定理可知，存在\\xi\\in(a,b)，使得F^\\prime(\\xi)=0，即f(\\xi) + \\xi f^\\prime(\\xi)=0。
林雲完成了整個解題過程，他仔細檢查了一遍，確保沒有任何疏漏。隨後，他拿起手機，對著寫滿解題過程的紙張拍了一張清晰的照片，上傳到粉絲群裡。
幾乎是瞬間，群裡炸開了鍋。
“這是什麼神仙解題思